一、平面参数曲线的奇点研究（论文文献综述）
郅俊海,陈玉福[1]（2021）在《多项式系统焦点的轨线判定方法》文中研究表明文章给出判定多项式系统焦点的一种方法.考察了解析系统周期环和凸曲线的相关性质,结合多项式系统在奇点附近的解曲线的相对曲率以及判定参数曲线全局凸的结果,给出了判定奇点类型的方法.
陈海梅[2]（2021）在《三维Maxwell-Bloch系统的动力学分析》文中指出激光辐射场与原子的相互作用作为激光的半经典理论中一种极为重要的效应,不仅在激光器功能电路中占主要部分,而且对于解释量子光学的物理现象发挥着重要的作用.它们的这种相互作用通常可以通过微分方程来刻画,进而,在物理学、数学和其他领域中经常通过对描述其作用规律的微分方程进行深入的分析来了解和掌握,从而推动相关理论的发展.本学位论文基于光和原子的相互作用来建立三维Maxwell-Bloch微分方程数学模型,对系统的动力学进行分析.具体的工作如下:第一章,阐述本文的研究背景、意义及现状.简述Maxwell-Bloch系统的研究现状,总结系统的有界性的研究简况,介绍Poincaré紧致化技术的研究进展和Jacobi稳定性的发展状况.第二章,简单推导三维Maxwell-Bloch常微分方程数学模型;通过运用最优化方法和Lagrange乘数法,给出三维系统的最终有界集;基于Poincaré紧致化技术,分析三维系统的无穷远奇点特性,结合数值仿真刻画出系统在无穷远处的拓扑结构,结果表明,系统在x轴、y轴和z轴无穷远奇点的动力学行为非常复杂.第三章,考虑三维Maxwell-Bloch系统的闭轨性质、同宿轨和奇异退化异宿环的存在性.根据三维空间二次曲面理论中曲面分类理论,证明系统的闭轨不可能落在同一个平面上.通过运用广义Melnikov方法,严格地证明系统在某些参数（当cd充分大时）的条件下存在两个非横截同宿轨道.与之相对应地,解析地证明系统在参数c充分小（c=0）的情况下存在一族奇异退化异宿环,并结合数值仿真探寻了系统的混沌机理.研究表明,随着参数的变化,系统通过奇异退化异宿环的破裂走向混沌.第四章,基于KCC理论,考虑三维Maxwell-Bloch系统的Jacobi稳定性.通过计算一个二阶系统的五个几何不变量,给出系统轨道的Jacobi稳定性的参数条件;并引入不稳定性指数和偏离向量的曲率,结合数值仿真对系统的混沌机理进行探讨性分析.
潘淑婧[3]（2021）在《平均曲率流相关问题及CR流形上的自由边界问题》文中研究表明在本文中,我们主要研究与极小曲面理论相关的两个重要问题,一个是平均曲率流（包含一维的曲线缩短流）,另一个是自由边界问题。对于前者,我们主要关心流的长时间存在性、收敛性以及奇点分析;而对于后者,我们将其推广到CR流形上,给出了自由边界问题的解曲面的定义,讨论了稳定性。在第一章中,我们研究乘积流形上严格减面积映射的Kahler-Ricci平均曲率流。首先我们证明了映射的严格减面积性质沿着流是保持的。然后我们发现这样的流长时间存在。特别地,在正数量曲率的情形,我们证明了第二基本形式的衰减估计,更进一步得到了流在无穷远处的收敛性。在第二章中,我们研究一般维数黎曼流形上的曲线缩短流,它是平均曲率流的一维情形。我们推广了 Altschuler有关空间曲线缩短流的奇点结果,证明了一般流形中曲线缩短流在奇点处的平面化,特别地得到了奇点处的爆破曲线收敛到凸的平面曲线。接下来,我们将目光转移到CR流形上。在第三章中,我们将曲线缩短流推广到三维的Sasaki流形上,构造了一种保持勒让德条件且缩短曲线长度的曲线流,该流的不动点是勒让德测地线。我们对流的奇点进行了分类,在某些假设下得到了收敛性的结果。我们重点研究了三维Heisenberg群中的曲线流,找到了它跟一般平面曲线流的关系,并对第一类奇点做了奇点分析。最后,我们研究三维pseudo-Hermitian流形上的自由边界问题。定义了一个带有边界M的三维pseudo-Hermitian流形N上的自由边界常p平均曲率曲面（自由边界CPMC曲面）的概念。它是p面积泛函的临界点,前提条件是它将N分为两个预定体积的子区域且边界属于M。进一步假设N是Sasaki的,且自由边界CPMC曲面的边界不包含M的奇点,我们给出了稳定性的概念。特别地,当M是三维Heisenberg群中的Pansu球面S1,N是其包含的内部区域时,我们找到了与M相交且关于t轴旋转对称的自由边界CPMC曲面的例子。p极小圆盘与Pansu球冠是其中稳定的两个例子。除此之外,我们还找到了与S1在上下对称的两个圆相交的自由边界CPMC曲面,它们是nodoid型曲面和unduloid型曲面。
刘通昌[4]（2021）在《三维Minkowski空间中特殊类光Cartan曲线与混合型曲线的微分几何》文中认为本文主要研究了三维Minkowski空间中的特殊类光Cartan曲线和混合型曲线的微分几何.一般螺线是微分几何中的重要研究对象,在三维欧氏空间中关于它的构造问题已被Izumiya等人彻底解决.由于曲线的切向量的类型不同,三维Minkowski空间中存在非类光一般螺线和类光螺线.非类光一般螺线与欧氏空间中的一般螺线类似,它的构造问题也已被解决.而类光螺线却与欧氏空间中的一般螺线有着本质的不同,据我们所知,关于类光螺线由平面曲线构造的问题一直没有被解决.在前人工作的基础上,我们提出了用特殊平面曲线构造类光螺线的方法,建立起了平面曲线与类光螺线间的联系.我们又进一步研究了与其相关的Cartan斜螺线和类光锥面测地线以及类光Darboux可展和类光单位Darboux可展的性质,建立起了这些特殊类光曲线与可展曲面之间的联系,并运用奇点理论的知识对上述的特殊可展曲面的奇点进行了分类.在Minkowski空间中,非类光曲线和类光曲线都是比较常见的正则曲线,对此,前人已经做了大量研究工作并获得了丰硕的成果.非类光曲线只含有非类光点,类光曲线则只含有类光点,而混合型曲线是一种同时含有类光点和非类光点的正则曲线,它是Minkowski空间中更为一般化的正则曲线.对于非类光曲线和类光曲线,我们可以分别运用Frenet标架和Cartan标架去进行研究.而对于混合型曲线,由于类光和非类光点的同时存在以至于Frenet标架和Cartan标架都会失效.因此,关于混合型曲线的研究工作少之又少且困难重重,直到2018年Minkowski平面中的混合型曲线的研究才有所进展.但在三维Minkowski空间中,混合型曲线的研究基本处于空白状态,甚至缺乏最基本的研究工具.据我们所知,到目前为止在该研究领域还没有学者提出较为有效的研究方法.为了解决这个问题,我们构造了三维Minkowski空间中的光锥标架,为三维Minkowski空间中混合型曲线的研究提供了有效工具,并利用此标架建立和证明了三维Minkowski空间中混合型曲线的基本定理.同时,作为光锥标架的一个应用,我们构造出了三维Minkowski空间中混合型曲线的渐屈线.本文结构安排如下:第一章,介绍了奇点理论的的研究背景和研究现状,以及本文的研究内容和结构.第二章,介绍了三维Minkowski空间中的基本概念和一些重要结论,以及三维Minkowski空间中非类光曲线和类光曲线的标架.第三章,研究了三维Minkowski空间中的特殊类光Cartan曲线和相关可展曲面,首先给出了用特殊的平面曲线去构造类光螺线的方法,然后研究了Cartan斜螺线和类光锥面测地线的性质,最后研究了类光Darboux可展和类光单位Darboux可展的奇点分类以及与上述特殊类光Cartan曲线之间的关系.第四章,研究了三维Minkowski空间中的混合型曲线,构造出了三维Minkowski空间中的光锥标架,并利用此标架建立和证明了三维Minkowski空间中的混合型曲线的存在唯一性定理.同时,作为光锥标架的应用,我们构造出了混合型曲线的渐屈线.
张翠莲[5]（2021）在《奇异子流形的微分几何及其应用》文中认为本文主要研究了几类奇异几何对象的微分几何性质,分为局部微分几何性质和整体微分几何性质两部分.第一部分,我们研究了三维欧氏空间中允许含有奇点的实解析曲线的局部微分几何.通过引入（n,m）-尖点曲线的概念,我们对全体非平坦实解析曲线进行了分类.我们推广了经典微分几何中关于正则曲线的结论,给出了相应的基本定理和局部形状的刻画.基于计算方便和应用方便的考虑,我们又定义了修正的Frenet-Serret型标架,并且得到了相应的修正的Frenet-Serret型公式和几何不变量.作为应用,我们研究了经典微分几何中几种特殊曲线,如允许含有奇点的一般螺线、渐缩线和渐伸线,并且得到了渐缩线与渐伸线之间的对偶定理.另外,我们将该结果具体应用到了光学与力学的相关问题的研究中.对于一个经典的光学系统,我们给出了平面曲线镜（planar curvilinear mirror）、焦散线与波前上（n,m）-尖点之间的一一对应关系.我们又研究了力学中滚动球的运动问题,给出了滚动球运动轨迹上允许出现的奇点类型并且刻画了它在奇点处的运动性质.第二部分,我们研究了伪黎曼空间中子流形关于类光几何的整体微分几何性质.首先,我们给出了Minkowski空间中具有一般维数的类空子流形关于类光几何的GaussBonnet型公式.该研究将Gauss-Bonnet型公式可以讨论的范围进一步扩大,推进了对于Minkowski空间中类空子流形的整体性质的研究.其次,我们研究了三维de Sitter空间和三维双曲空间中允许含有奇点的波前的类光几何.我们定义了相应的光锥高斯映射并且得到了一些类光几何不变量.作为主要结果,我们给出了相应的Gauss-Bonnet型公式.它将允许含有奇点的子流形的类光几何与其拓扑性质联系在了一起.这个结果可以作为Einstein场方程解空间中奇异几何对象的整体性质的补充、完善.本文共分为五章.第一章主要介绍了本文的研究背景、研究历史、研究动机和意义.最后,简要介绍了全文的研究内容和结构安排.第二章给出了本文会涉及到的一些基本概念.第三章主要讨论了三维欧氏空间中实解析曲线的局部微分几何.首先,引入了（n,m）-尖点曲线的概念并且给出了推广的基本定理和局部形状的刻画.其次,引入了修正的Frenet-Serret型标架的概念,定义了（n,m）-尖点曲线的一般螺线、渐缩线和渐伸线并且研究了它们的奇异性质.最后,给出了渐缩线与渐伸线之间的对偶定理.第四章将渐缩线与渐伸线之间的对偶定理具体应用到了光学和力学的相关问题的研究中.首先,研究了一个经典光学系统中平面曲线镜（planar curvilinear mirror）、焦散线与波前上（n,m）-尖点间的一一对应关系.其次,给出了滚动球运动轨迹上允许出现的奇点类型并且刻画了它在奇点处的性质.第五章主要研究了伪黎曼空间中子流形关于类光几何的整体性质.首先,利用提升的方法给出了Minkowski空间中具有一般维数的类空子流形关于类光几何的GaussBonnet型公式.其次,考虑奇异的几何对象,主要研究了三维de Sitter空间和三维双曲空间中的波前的类光几何,并且给出了相应的Gauss-Bonnet型公式.
刘思瑶[6]（2021）在《类光曲面上类空曲线的广义焦曲面》文中研究指明在物理学和医学等领域,焦点集都具有广泛的应用意义.当焦点集是欧氏空间二维子流形时,称之为焦曲面.由于焦曲面广泛的适用性,许多学者对其结构以及奇点进行了研究.Hagen和Hahmann基于焦曲面的定义给出了广义焦曲面的定义,然而并没有学者研究过与一般类光曲面上的曲线有关的广义焦曲面和渐屈线的奇点,为满足这一需要本文进行了相关研究.本文研究的是三维Minkowski空间中由类光曲面上的类空曲线γ所生成的两类广义焦曲面和渐屈线的奇点.在研究过程中,建立了新的标架并提出了两种用来刻画广义焦曲面及其渐屈线奇点类型的几何不变量.揭示了γ和密切球的切触,广义焦曲面和渐屈线的奇点以及几何不变量之间的对应关系.最后,给出了两个例子来说明主要结论的正确性.
王春晓[7]（2021）在《de Sitter空间中null曲线的类光对偶曲面和Legendrian对偶》文中提出本文主要研究了 3维de Sitter空间中null曲线的一些性质,给出了新的FreneL方程和三个与null曲线相关的重要不变量.利用开折理论,揭示了三种类光对偶曲面的局部拓扑结构.发现类光对偶曲面存在一些奇点,奇点的类型可以由不变量确定.又由伪球面上的Legendrian对偶理论和切触流形理论,表明了与null曲线相关的类光横截曲线分别与三种类光对偶曲面之间存在Δ2,Δ3,Δ4对偶关系.此外,有一个有趣而重要的事实,在类光对偶曲面的奇点类型一定的情况下,类光横截曲线与光锥二次曲面之间的切触以及类光横截曲线与超平面之间的切触具有相同的阶数.
李旭[8]（2021）在《三维双曲空间中的Φ-平坦曲面》文中研究指明众所周知,三维双曲空间是闵科夫斯基空间中的伪球空间之一,双曲几何（Hyperbolic Geometry）和极限圆几何（Horospherical Geometry）都是三维双曲空间中的重要几何,而本文前半部分主要研究了极限圆几何,即利用曲线的伏雷内型公式和达布向量场构造了两种沿着给定曲面上正则曲线的极限圆曲面和极限圆平坦曲面,分别为切极限圆平坦曲面和法极限圆平坦曲面,这两种曲面在给定曲线的任意点处分别切于和垂直于给定的曲面,最后讨论了这些极限圆平坦曲面出现尖棱、燕尾、尖喙以及交叉帽型奇点需满足的条件.极限圆曲面和极限圆平坦曲面的关系类似于欧氏空间中的直纹面和可展曲面,可展曲面是高斯映射退化为一点或者一条曲线的直纹面,而曲面的勒让德对偶扮演着类似于高斯映射的角色,若曲面的勒让德对偶在任意点处均奇异,那么该曲面具有某种平坦性,其中若曲面的Δ2-对偶在任意点处均奇异,则该曲面具有极限圆平坦性.沿着曲面上曲线的极限圆平坦曲面可看作是原曲面在曲线某点处的近似平坦.除了双曲几何和极限圆几何,还有一种介于二者之间的几何,称为斜几何.于是本文接着利用斜几何的理论构造了沿着曲面上一条正则曲线的勒让德对偶曲面,自然地,利用曲面勒让德对偶的退化性定义了勒让德对偶曲面的斜平坦性,勒让德对偶曲面和斜平坦曲面的关系类似于极限圆曲面和极限圆平坦曲面.除此之外,受到Saji的沿着尖棱构造极限圆平坦曲面的启发,本文还构造了两种沿着尖棱的勒让德对偶曲面和斜平坦曲面,分别称为切斜平坦曲面和法斜平坦曲面,类似的发现,这两种斜平坦曲面在尖棱处切于或垂直于尖棱.最后讨论了这些斜平坦曲面的奇点类型.同理,沿着曲面上曲线的这些斜平坦曲面可看作原曲面在曲线某点处的斜平坦近似.最后,当给定曲面上的曲线是特殊曲线时,例如是曲率线时,分别构造了极限圆平坦曲面和斜平坦曲面,并且研究了这些近似（斜）平坦曲面具有的微分几何性质,最后发现这些曲面出现了纯的frontal奇点.本文以构造给定曲面上曲线的近似（斜）平坦曲面,并且研究其微分几何性质为主要思路,不仅研究了曲面上一般正则曲线的近似（斜）平坦曲面,而且也研究了特殊曲线,例如沿着尖棱或是曲率线的近似（斜）平坦曲面.构造这些近似（斜）平坦曲面的意义就在于,直接研究曲面或曲线本身的几何性质较为困难时,就可先构造沿着曲线的近似（斜）平坦曲面,而这些近似（斜）平坦曲面可看作曲线上某点处在原曲面上的近似曲面,这样就可以利用曲面在曲线某点处的平坦逼近的特殊性质,研究曲面或者曲线的几何性质.不仅简化了研究过程,而且可反观出原曲面或者曲线所具有的几何性质.
毕婉莹[9]（2021）在《二维双曲空间和二维de Sitter空间中类空fronts的渐屈线和对偶》文中提出本文主要介绍了 Lorentz空间型的奇异曲线的微分几何.在双曲空间和de Sitter空间上,利用Legendrian对偶理论中的△2和△3对偶,沿着fronts建立移动标架.根据移动标架,给出了洛伦兹空间型的类空fronts的渐屈线定义,并且详细地描述了这些渐屈线的性质.这些性质也表明了,在Legendrian奇点理论下,这些渐屈线能成为波阵面.随后定义类空平行面,即类空fronts和其对偶曲线的线性组合,进一步得出类空平行面的所有奇点均在渐屈线上这一结果.最后,文章给出了不同对偶条件下所得渐屈线之间的关系.
杨雪,孙红岩,董雨,孙晓鹏[10]（2021）在《曲面的展开与折叠方法综述》文中进行了进一步梳理作为曲面变形领域的重要课题,展开与折叠已经成为近年来的研究热点.为了满足三维物体在美学、力学等方面的约束,通常需要为其设计展开与折叠结构.利用计算机相关技术模拟物体的展开与折叠,可设计出满足约束条件的几何结构.目前,展开与折叠广泛应用于工业设计、生物医疗、智能机器人、家具设计等领域.主要介绍近年来计算机展开与折叠物体的研究现状:首先对展开与折叠算法进行分类,并简述每类方法的基本思想;然后对各类方法进行归纳分析,总结各类方法的优势与局限性;最后给出相应的评价准则,用于进一步对比.曲面的折叠与展开方法逐步发展创新,趋于成熟,但由于实际应用需求复杂,变形结果并不完美.对目前的折叠与展开方法进行综述,能够为未来的工作提供研究方向.
二、平面参数曲线的奇点研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、平面参数曲线的奇点研究（论文提纲范文）
（2）三维Maxwell-Bloch系统的动力学分析（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景、意义及现状 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 第2章 奇点分析 |
| 2.1 数学模型 |
| 2.2 无穷远奇点 |
| 2.2.1 在局部坐标卡U_1和V_1上 |
| 2.2.2 在局部坐标卡U_2和V_2上 |
| 2.2.3 在局部坐标卡U_3和V_3上 |
| 2.3 本章小节 |
| 第3章 闭轨分析 |
| 3.1 闭轨性质 |
| 3.2 同宿轨 |
| 3.3 奇异退化异宿环 |
| 3.4 本章小节 |
| 第4章 Jacobi分析 |
| 4.1 Jacobi稳定性 |
| 4.2 混沌分析 |
| 4.2.1 偏离向量在E_0附近的动力学行为 |
| 4.2.2 偏离向量在E_+附近的动力学行为 |
| 4.2.3 偏离向量在E_-附近的动力学行为 |
| 4.2.4 偏离向量的曲率 |
| 4.3 本章小节 |
| 结论及展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表论文目录 |
| 致谢 |
（3）平均曲率流相关问题及CR流形上的自由边界问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 平均曲率流 |
| 1.1.1 Kahler-Ricci平均曲率流 |
| 1.1.2 曲线缩短流 |
| 1.2 自由边界问题 |
| 第2章 黎曼面之间严格减面积映射的KAHLER-RICCI平均曲率流 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 映射的图的几何 |
| 2.1.2 乘积流形上的Kahler-Ricci平均曲率流 |
| 2.2 发展方程 |
| 2.3 平均曲率的先验估计和解的长时间存在性 |
| 2.4 第二基本形式的衰减估计 |
| 第3章 一般黎曼流形中的曲线缩短流 |
| 3.1 发展方程 |
| 3.2 沿着曲线流伸缩不变的估计 |
| 3.3 曲率和挠率的局部控制 |
| 3.4 奇点分析 |
| 3.4.1 奇点的平面化 |
| 3.4.2 爆破分析 |
| 第4章 Sasaki流形上的曲线缩短流 |
| 4.1 三维Sasaki流形以及其中的曲线 |
| 4.2 发展方程 |
| 4.3 高阶估计 |
| 4.4 长时间存在的流的收敛性 |
| 4.5 Heisenberg群中的曲线流 |
| 4.5.1 与经典平面曲线流的关系 |
| 4.5.2 单调公式和奇点分析 |
| 第5章 三维pseudo-Hermitian流形中的自由边界问题 |
| 5.1 三维pseudo-Hermitian流形中的曲面 |
| 5.2 三维pseudo-Hermitian流形中自由边界问题的解曲面 |
| 5.3 自由边界CPMC曲面的稳定性 |
| 5.4 与Pansu球面相交的稳定自由边界CPMC曲面 |
| 5.5 与Pansu球面相交于两个圆的自由边界CPMC曲面 |
| 5.5.1 CR悬链面 |
| 5.5.2 非极小的CR悬链面型曲面 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（4）三维Minkowski空间中特殊类光Cartan曲线与混合型曲线的微分几何（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景和研究现状 |
| 1.2 论文的研究内容和结构 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 三维Minkowski空间中的基本概念 |
| 2.2 三维Minkowski空间中非类光曲线和类光曲线的标架 |
| 第3章 三维Minkowski空间中的特殊类光曲线和可展曲面 |
| 3.1 平面曲线与类光螺线的构造 |
| 3.2 Cartan斜螺线 |
| 3.3 类光Darboux 可展和类光单位Darboux 可展 |
| 3.4 例子 |
| 第4章 三维Minkowski空间中的混合型曲线和光锥标架 |
| 4.1 混合型曲线 |
| 4.2 光锥标架 |
| 4.3 混合型曲线的渐屈线 |
| 4.4 例子 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表论文及着作情况 |
（5）奇异子流形的微分几何及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 研究背景和研究动机 |
| 1.2 本文的研究内容及结构 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 Minkowski空间中伪球间的Legendre对偶 |
| 2.2 波前 |
| 3 (n,m)-尖点曲线的局部微分几何 |
| 3.1 (n,m)-尖点曲线 |
| 3.2 修正的Frenet-Serret型标架 |
| 3.3 (n,m)-尖点螺线 |
| 3.4 渐缩线和渐伸线之间的对偶定理 |
| 3.4.1 渐缩线 |
| 3.4.2 渐伸线 |
| 3.4.3 对偶定理 |
| 4 (n,m)-尖点曲线的局部微分几何在物理学中的应用 |
| 4.1 光学中的应用 |
| 4.2 力学中的应用 |
| 5 波前的整体微分几何 |
| 5.1 Minkowski空间中类空子流形的Gauss-Bonnet型定理 |
| 5.1.1 Minkowski空间中类空子流形的类光几何 |
| 5.1.2 类空子流形的Gauss-Bonnet型定理 |
| 5.2 三维双曲空间和三维de Sitter空间中波前的Gauss-Bonnet型定理 |
| 5.2.1 基本概念 |
| 5.2.2 类光几何 |
| 5.2.3 未来定向波前的Gauss-Bonnet型定理 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在学期间公开发表论文及着作情况 |
（6）类光曲面上类空曲线的广义焦曲面（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 本章小结 |
| 第3章 距离平方函数,A_k类奇点和切触 |
| 3.1 距离平方函数 |
| 3.2 A_k类奇点 |
| 3.3 切触 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 函数的开折以及主要结论 |
| 4.1 函数的开折 |
| 4.2 主要结论及其证明 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 例子 |
| 5.1 de Sitter焦曲面的例子 |
| 5.2 双曲焦曲面的例子 |
| 5.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（7）de Sitter空间中null曲线的类光对偶曲面和Legendrian对偶（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 类光对偶曲面的定义以及几何不变量 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 Legendrain对偶 |
| 3.1 Legendrain对偶理论 |
| 3.2 本章小结 |
| 第4章 横截null高度函数以及不变量的几何意义 |
| 4.1 横截null高度函数 |
| 4.2 横截null高度函数的A_k类奇点 |
| 4.3 类光对偶曲面的奇点集 |
| 4.4 几何不变量决定的性质 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 函数的开折以及主要结论 |
| 5.1 横截null高度函数的versal开折 |
| 5.2 主要结论及其证明 |
| 5.3 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（8）三维双曲空间中的Φ-平坦曲面（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 1 引言 |
| §1.1 背景介绍 |
| §1.2 三维双曲空间的基本概念 |
| §1.3 曲面上曲线的局部微分几何 |
| §1.4 闵科夫斯基空间中伪球的勒让德对偶 |
| §1.5 三维双曲空间中的庞加莱球模型和斜伪线 |
| 2 沿着曲面M~H上曲线γ的极限圆平坦曲面(φ=0) |
| §2.1 极限圆曲面的一般理论 |
| §2.2 曲面上沿着曲线γ的切极限圆平坦曲面 |
| §2.3 沿着曲线γ的法极限圆平坦曲面 |
| §2.4 极限圆平坦曲面的奇点 |
| 3 沿着曲面M~H上曲线γ的φ-平坦曲面(φ≠0) |
| §3.1 沿着曲线γ的(?)对偶曲面 |
| §3.2 曲面M~H上沿着曲线γ的φ-切平坦曲面 |
| §3.3 沿着曲线γ的φ-法平坦曲面 |
| §3.4 φ-平坦曲面的奇点 |
| 4 沿着尖棱的φ-平坦曲面 |
| §4.1 沿着尖棱的φ-切平坦曲面 |
| §4.2 沿着尖棱的φ-法平坦曲面 |
| §4.3 沿着尖棱的φ-平坦曲面的奇点 |
| 5 沿着曲面上曲率线的极限圆平坦曲面和φ-平坦曲面 |
| §5.1 沿着曲率线的极限圆平坦曲面 |
| §5.2 沿着曲率线极限圆平坦曲面的奇点 |
| §5.3 沿着曲率线的φ-平坦曲面 |
| §5.3.1 沿着曲率线的φ-切平坦曲面 |
| §5.3.2 沿着曲率线的φ-法平坦曲面 |
| §5.4 沿着曲率线的φ-平坦曲面的奇点 |
| 结语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）二维双曲空间和二维de Sitter空间中类空fronts的渐屈线和对偶（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 第2章 正则曲线的渐屈线 |
| 2.1 基本概念 |
| 2.2 在二维双曲空间中正则曲线的渐屈线 |
| 2.3 在二维de Sitter空间中正则曲线的渐屈线 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 二维双曲空间和二维de Sitter空间中fronts |
| 3.1 基本概念 |
| 3.2 二维双曲空间中的类空fronts |
| 3.3 二维de Sitter空间中的类空fronts |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 二维双曲空间和二维de Sitter空间中类空fronts的渐屈线 |
| 4.1 二维双曲空间中的类空fronts的渐屈线 |
| 4.2 二维de Sitter空间中的类空fronts的渐屈线 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 渐屈线的关系 |
| 5.1 不同fronts的渐屈线之间的关系 |
| 5.2 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
四、平面参数曲线的奇点研究（论文参考文献）
- [1]多项式系统焦点的轨线判定方法[J]. 郅俊海,陈玉福. 系统科学与数学, 2021
- [2]三维Maxwell-Bloch系统的动力学分析[D]. 陈海梅. 广西师范大学, 2021(09)
- [3]平均曲率流相关问题及CR流形上的自由边界问题[D]. 潘淑婧. 中国科学技术大学, 2021(09)
- [4]三维Minkowski空间中特殊类光Cartan曲线与混合型曲线的微分几何[D]. 刘通昌. 东北师范大学, 2021(09)
- [5]奇异子流形的微分几何及其应用[D]. 张翠莲. 东北师范大学, 2021(09)
- [6]类光曲面上类空曲线的广义焦曲面[D]. 刘思瑶. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
- [7]de Sitter空间中null曲线的类光对偶曲面和Legendrian对偶[D]. 王春晓. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
- [8]三维双曲空间中的Φ-平坦曲面[D]. 李旭. 东北师范大学, 2021(12)
- [9]二维双曲空间和二维de Sitter空间中类空fronts的渐屈线和对偶[D]. 毕婉莹. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
- [10]曲面的展开与折叠方法综述[J]. 杨雪,孙红岩,董雨,孙晓鹏. 软件学报, 2021(02)