一、(3+1)维非线性方程的多孤子解（论文文献综述）
郭汉东[1]（2021）在《若干非线性模型的解析解研究》文中研究指明本文主要利用Hirota双线性方法、Riemann-Hilbert（RH）方法和符号计算对数学物理中一些重要的非线性发展方程进行研究,求出其显式解析解,这些解包含孤立子解、Lump解、呼吸解、怪波解和周期解以及由他们构成的作用解.通过分析表达式结构,进而借助各种各样的图形研究各类解丰富的动力学行为.本文以符号计算软件Maple为计算基础,展开非线性发展方程解析解的构造,具体包括以下两部分工作:第一部分围绕Hirota双线性方法的基本理论,再结合长波极限法、广义同宿波测试法、假设函数法研究了广义Boiti-Leon-Manna-Pempinelli（BLMP）方程、（3+1）-维广义Jimbo-Miwa（JM）方程、（3+1）-维广义Yu-Toda-Sasa-Fukuyama（YTSF）方程,构造出它们的双线性形式以及多种不同类型的解析解.第二部分利用RH方法,在零边界条件下,通过分析谱问题及其相关散射数据,计算出Lakshmanan-Porsezian-Daniel（LPD）方程、高阶耦合非线性S chr（?）dinger（NLS）方程和四阶耦合NLS方程的N-孤子解并详细地研究了各类解的动力学行为.具体内容如下:第一章为绪论部分,首先介绍了孤立子理论的研究背景和发展现状,以及在这一领域中应用的一些经典求解方法,重点介绍了符号计算、RH方法、Hirota双线性方法以及与之相关的长波极限法、广义同宿波测试法、假设函数法,并阐述了本论文的选题和主要工作.第二章研究了广义BLMP方程,构造出其双线性形式并借助假设函数法,得到了解析解的一般表达式.进一步地,通过选择合适的参数值,求出Lump解以及Lump和孤子的非弹性作用解,并详细研究了（x,y）平面上Lump解的传播轨道、速度和极值问题.第三章研究一个流体力学中广义（3+1）-维JM方程,它可以描述数学物理中的许多非线性现象.借助Hirota双线性方法和长波极限方法,得到了描述多次碰撞的M-阶Lump解.详细研究了（x,y）平面上1-阶Lump解的传播轨道、速度和极值.通过广义同宿波测试技术,得到广义JM方程的呼吸扭结解、有理呼吸解和怪波解.同时,通过分析和计算,得到呼吸扭结解的振幅和周期随p的增大而增大的结论,并计算出有理呼吸解和怪波解的极值.通过对N-孤子解选择适当的复共轭参数,得到T-阶呼吸解.证明了（x,y）平面上1-阶呼吸解的周期由k12和k12p11+k11p12决定,位置由k11和k11p11-k12p12决定.此外,还计算出由扭结孤子、呼吸子和Lump解组成的混合解.最后给出丰富的图形来阐述这些解的动力学特性.第四章借助于双线性方法,得到（3+1）-维广义YTSF方程的N-孤子解公式.在特殊参数约束下,对2M-孤子解取长波极限,可以成功构造M-阶Lump解.进一步研究了（x,y）平面上1-阶Lump解的传播轨道、速度和极值问题.最后,讨论三种类型的混合解,描述了呼吸子与孤子、Lump解与孤子和呼吸子之间的相互作用.结果表明,这些碰撞是弹性的,在相互作用后不会引起孤子、呼吸子和Lump解的振幅、速度和形状的任何变化.第五章通过RH方法研究了非线性光纤中可积的LPD方程,首先对Lax对进行谱分析,得到一个RH问题.然后,通过求解无反射和非正则条件下的特殊RH问题,可以得到广义N-孤子解公式.此外,实部、虚部对应的呼吸子和模量对应的孤子解的局部波结构和动力学行为通过图形显示出来,并进行了详细讨论.与2-阶呼吸子和孤子解不同,3-阶呼吸子和孤子解相互作用时迅速坍塌.这种现象导致了无界振幅,表明本章得到的高阶孤子并不是基本孤子的简单非线性叠加.第六章研究光纤中高阶耦合NLS方程.在零边界条件下,将谱问题与时间发展式转化为简洁的形式.其次,通过分析转化后的谱问题及其相关性质,进而构建了一个矩阵RH问题.然后,通过位势重构并求解无反射条件下矩阵RH问题,给出了高阶耦合NLS方程多孤子解的表达式.呼吸解和孤子解的传播和碰撞动力学行为通过选择适当参数以图形方式展现出来.本章创新点和亮点是通过所获得的有趣结果来展示.一是高阶线性和非线性项ε对动力学速度、相位、周期和波宽有重要影响.二是2-阶呼吸子和孤子碰撞是弹性相互作用,它们始终保持有界.然而,3-阶呼吸子和孤子解是非弹性相互作用,当碰撞发生时,振幅随时间迅速减小.第七章用RH方法求出了双折射或双模光纤中四阶耦合NLS方程的多孤子解和呼吸解.首先,通过假设位势函数在无穷远处快速衰减这一性质,引入一个新的变换,并将给定谱问题转化为简洁的形式.其次,通过分析新谱问题及其相关性质,得到一个在实轴上的矩阵RH问题.然后,通过求解无反射情况下矩阵RH问题,重构位势并给出了四阶耦合NLS方程多孤子解的一般表达式.同样的,详细分析了高阶线性和非线性项r对孤子解和呼吸解的速度、相位、周期和波宽的影响.有趣的是,3-孤子解表现出不同的动力学行为,即在传播过程中,两个右向波的振幅逐渐增大.第八章是总结和展望.首先对本论文所使用的方法,研究的方程以及得到的主要结果进行总结.并对以后即将从事的研究工作进行设想和展望,根据目前研究结果,拓宽方法的使用范围,更深入研究一些重要的数学物理方程,期待未来的研究内容和结论更上一个层次.
刘素芝[2]（2021）在《高维非线性系统解析解的研究与应用》文中认为有关于非线性偏微分方程（PDE）研究可以被用在光信息传输、等离子体物理、玻色-爱因斯坦凝聚和流体力学等领域。而非线性薛定谔方程作为偏微分方程中至关重要的分支之一,对其孤子解析解的结构和性质进行研究与分析,是我们所要完成的主要任务。本文的主要技术路线是以Hirota双线性方法为核心,通过有理变换等形式且结合D算子的相关性质完成从非线性到两个或多个线性形式的转换,去求得孤子的解析解,并对孤子传输特性作进一步分析。以色散渐变光纤为模型,从（1+1）维方程模型入手,求得孤子的双孤子、三孤子解析解。再研究孤子在（2+1）维方程模型中孤子的传输路径,忽略方程中各向异性的因素,求双孤子解析解,并分析解的结构和性质。结果表明孤子在两种形式下选取色散项为高斯函数时,孤子传输较为稳定,通过调整高斯项中某些系数的取值,孤子的相移均能够得到更好的控制,但在（2+1）维形式下,原点附近处的孤子传输幅度会发生骤减,呈现“圆形凹谷”形态,的大小,这种情况可以通过调整高斯项中的系数得到明显得改善,孤子由原来的“截断”式传输变得逐渐均匀与平滑,孤子间的相互作用能够得到显着的削弱。以上研究结果在光纤传输机制与应用上有着一定帮助。以一个高阶的非线性薛定谔方程为研究模型,令γ=0,求得模型的单孤子、双孤子以及三孤子解。基于以上解研究当奇数阶色散项作用时孤子在传输距离和时间上的变化。研究结果表明随着五阶色散与三阶色散之间约束值的改变,孤子的传输方向也会发生变化,随着约束值的增大,孤子间的内聚性得到增强。此外,研究了非线性项对孤子相互作用的影响,对孤子束缚结及周期变化规律总结出了三种不同的孤子动力学特征,以上研究成果不仅对在光学领域上的应用有一定的帮助,而且对于非线性系统中的模糊自适应控制也有着指导价值。在以上高阶模型基础上令α=δ=0,进一步转换为目前现有的变系数（2+1）维塰瑟堡铁磁自旋链的可积模型,求取双孤子解析解,研究分析了多种孤子同时传输时由于孤子间排斥和吸引所造成的不同传输形态,发现对于色散项和非线性项的改变影响着孤子相互作用形态的变化,调整色散项与非线性项之间的约束值,孤子的内聚性得到增强,相移发生变化。此外,对非线性项的值做有效调整,孤子的相互作用得到明显削弱,可实现长距离稳定传输。以上研究结果进一步丰富与深化了目前塰瑟堡铁磁自旋链模型。
岳云飞[3]（2021）在《局域波和调制不稳定性的若干问题研究》文中认为本文基于Maple、Mathematica和Matlab三类符号计算软件平台,利用调制不稳定性分析、广义Darboux变换和Hirota双线性方法,研究了几类非线性可积系统的局域波及相互作用解,并分析了相应的动力学特征.主要开展三个方面的工作:高阶非线性Schr¨odinger方程的调制不稳定性分析、高阶怪波解及态转换;广义耦合Fokas-Lenells方程的无穷多守恒律、调制不稳定性分析及不同类型局域波的相互作用解;高维非线性系统的高阶局域波及相互作用解.具体研究内容如下:第一章,重点介绍了非线性局域波、调制不稳定性分析、经典Darboux变换方法、广义Darboux变换方法和Hirota双线性方法的相关背景和研究现状,并简要概述了本论文的选题和主要结果.第二章,研究了无穷阶非线性Schr¨odinger方程族的调制不稳定性分布特征,获得了调制不稳定区域划分与高阶色散项之间的内在联系.通过广义Darboux变换构造了六阶非线性Schr¨odinger方程的高阶怪波,并分析高阶色散项对怪波解频谱、波宽及振幅的影响.进一步给出了怪波与W型孤子之间态转换的条件及解对应的光谱图.特别地,验证了谱分析和调制不稳定性分析所得结果的一致性.第三章,研究了广义耦合Fokas-Lenells方程的调制不稳定性分布特征,发现其增益函数与背景振幅、背景频率、扰动频率及物理参数的内在联系,且调制不稳定区域面积随背景振幅增大而减小.从谱问题满足的Riccati型方程出发,得到了方程的无穷多守恒律.通过广义Darboux变换获得了高阶怪波及其分别与亮暗孤子和呼吸子的相互作用解,并且发现这些局域波的结构都是参数可控的.第四章,研究了3+1维Hirota双线性方程、3+1维广义Jimbo-Miwa方程和3+1维非线性演化方程的局域波及相互作用解.首先,基于Hirota双线性方法结合长波极限和参数复化技巧,获得了3+1维Hirota双线性方程的一阶呼吸子、块解和线怪波,进一步得出这些解的相移、传播方向、形状和能量都是参数可控的;然后,还分别研究了3+1维广义Jimbo-Miwa方程和一个非线性演化方程的亮暗高阶局域波及相互作用解,包括二阶呼吸子、二阶线怪波以及孤子、呼吸子、块解和怪波四类解的两两相互作用情况,并结合图像生动刻画了相关解的动力学特征.第五章,应用Hirota双线性方法研究了3+1维Kudryashov-Sinelshchikov方程的亮暗高阶有理解和N波共振解.通过引入多项式函数,得到了亮暗两种结构的怪波型有理解和W型有理解.通过对一至三阶有理解的分析,发现了有理解的阶数与极值的对应关系.再引入两个多项式函数与第一个多项式进行组合,不仅可获得上述类型解,还可通过参数调控实现高阶怪波型或W型有理解相应裂变为多个一阶怪波型或W型孤子的组合结构.在特定约束和色散关系下,得到了该方程的N波共振解,包括亮-聚变、暗-聚变、亮-裂变和暗-裂变共振解.第六章,对全文进行简要总结,并对后续研究工作做了进一步展望.
杜夏夏[4]（2021）在《等离子体、海森堡铁磁自旋链中非线性模型的Lie群分析及解析研究》文中提出自然界中存在着形形色色的波动现象。等离子体中的波动模式与太阳风对地球磁层的影响、太阳耀斑和恒星演化有密切的联系,而铁磁性材料中的自旋波（磁矩有序材料中磁化的集体激励行为）被广泛应用于通信系统和雷达中。人们发现通过建立合适的非线性模型可以更好地理解等离子体和铁磁自旋链中的非线性波。本文针对等离子体和海森堡铁磁自旋链中的非线性模型进行Lie群分析和解析研究,主要内容如下:在第一章的绪论中,我们介绍了等离子体和海森堡铁磁自旋链中的非线性现象以及常见的非线性模型,并介绍了非线性模型的对称性和守恒律的研究进展。此外,我们给出了本文所需的主要数学方法和本文的结构安排。在第二章中,我们研究了描述非线性等离子体声波在磁化电子-离子等离子体中传播的（3+1）维修正Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程。利用Hirota方法,我们构造了其双线性形式,进而得到其单、双、三孤子解。我们借助图像讨论了等离子体声孤波的特征和孤波间的相互作用,并给出了非线性系数（与正负离子质量比、离子数密度、低温电子归一化初始密度、高温电子归一化初始密度、低温电子和高温电子温度比相关）和色散系数（与正负离子质量比、离子数密度相关）对等离子体声孤波的振幅的影响。利用Lie对称群理论,我们还得到了其Lie点对称生成元和相应的对称约化方程。借助G’/G展开法,我们得到了若干解析解。该方程具备严格自伴性,基于此性质可得到其守恒律。在第三章中,我们讨论了可描述电子-正电子-离子（e-p-i）磁化等离子体中离子声漂移波传播的（2+1）维修正ZK方程。我们得到了 Lie点对称生成元和Lie点对称群,并给出了一维Lie子代数的最优系统。基于该最优系统,我们构造了幂级数解、多孤子解、类呼吸子解和周期波解。在研究多个离子声漂移孤波间的相互作用时,我们发现了两种不同类型的弹性相互作用现象,其中包括迎面型和追赶型。通过研究可知,离子声漂移孤波和周期波的振幅与电子德拜长度正相关而与离子拉莫尔半径的绝对值负相关。此外,我们发现该修正ZK方程不仅具备严格自伴性,还具备非线性自伴性,基于其非线性自伴性,我们得到了其守恒律。在第四章中,我们研究了描述离子声波在无碰撞磁化e-p-i等离子体中传播的（3+1）维Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程。我们得到了 Lie点对称生成元和Lie对称群,并利用对称生成元得到了约化方程。通过幂级数展开法和多项式展开法求解某一约化方程,我们得到了幂级数解和行波解（其中包含激波解）。我们使用图像模拟了离子声激波,并讨论了归一化离子回旋频率、运动粘度、麦克斯韦平衡偏差测量值、离子和电子的温度比、电子和正电子的温度比对离子声激波振幅的影响。在得到该方程的非线性自伴性条件后,我们给出了其守恒律。在第五章中,我们研究的对象是一个描述海森堡铁磁自旋链的非线性自旋动力学行为的非线性模型,（2+1）维非线性Schrodinger方程。我们给出了Lie点对称生成元和Lie对称群,其中Lie对称群与该方程的时间、空间、尺度、旋转、伽利略变换有关。基于Lie点对称生成元,我们得到了该方程的约化系统。对约化系统使用多项式展开法可构造出该方程的若干群不变解（包含孤子型群不变解）。在利用Darboux变换得到了n阶呼吸子解后（n为正整数）,我们发现在一定条件下,自旋呼吸子可以转换为lump,畸形波和两种周期波（本文称之为周期Ⅰ型波和周期Ⅱ型波）。通过二阶呼吸子解,我们使用图像模拟出了双自旋呼吸子间,双周期波间,自旋呼吸子与周期Ⅰ型波间的相互作用。通过理论和图像分析发现,lump和畸形波分别是自旋呼吸子和周期Ⅰ型波的长波极限。此外,我们构造了半有理解来模拟lump和畸形波在周期背景上的传播,并讨论了晶格点自旋的双线性交换和邻近相互作用的系数、单轴晶场各向异性参数以及晶格参数对磁孤子、自旋呼吸子等各种非线性自旋激发的影响。第六章为本文工作和创新点的总结,并给出对未来工作的展望。
刘建国[5]（2021）在《非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究》文中研究表明非线性偏微分方程可以被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题,是现代数学的一个重要分支。本文主要利用Hirota双线性方法、（G’/G）-展开法、变系数齐次平衡法、三波法和符号计算方法研究非线性偏微分方程的精确解以及动力学性质,包括lump解、怪波解和周期解等。本文的主要内容和安排如下:第一章主要介绍了非线性偏微分精确解的一些重要分类,包括了孤立波、怪波、lump波以及呼吸子。介绍了本文需要使用的一些基本的方法,包括了 Hirota双线性方法、Bell多项式和Backlund变换。第二章首先介绍了 lump解的求解方法和步骤。随后利用这个方法获得了（3+1）维孤子方程的lump解,分别讨论了 lump解和孤子之间的交互作用以及lump解和周期解之间的交互作用。获得了（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程的lump解,讨论了 lump解与孤子解之间的交互作用。随后对lump解的求解方法进行了修正,使之适合求解变系数非线性偏微分方程,这个工作尚未在其他文献中讨论。利用修正后的求解方法获得了（3+1）维广义变系数Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的lump解并对其动力学性质进行了分析。列出了（2+1）维变系数KP方程的lump解,并讨论了 lump解与单孤子、双孤子之间的交互作用。第三章研究了一个（2+1）维破裂孤子方程,该方程描述了沿y轴传播的Riemann波与长波的（2+1）维相互作用。利用一个特殊的ansatz函数和Hirota双线性形式,获得了（2+1）维破裂孤子方程的一些全新的双周期孤子解,并通过大量的三维图形展示了解的动力学性质。第四章研究 了一个（3+1）维 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程,该方程在流体和等离子体动力学有重要的应用。沿x轴传播的长波可以被视为不可压缩流体的模型。基于（G’/G）-展开法和符号计算,得到了（3+1）维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程丰富的双曲函数和三角函数形式的精确解。通过一些图形显示了特定的局部激发和两个孤立波之间的相互作用。第五章研究了一个（3+1）维广义浅水波方程,该方程在天气模拟、潮汐波、河流和灌溉水流、海啸预报等方面有着广泛的应用。基于扩展的变系数齐次平衡法和两个新的ansatz函数,构造了（3+1）维广义浅水波方程的自Backlund变换、非行波孤子型解和多周期孤子解,包括了周期交叉扭结波,周期双孤波和两个孤立波的呼吸类型解。此外还有交叉扭结三孤子和交叉扭结四孤子解并讨论了所得解的传播特性和相互作用。第六章通过三波法研究了新的（3+1）维广义KP方程、（2+1）维Ito方程以及新的（2+1）维Korteweg-de Vries方程的精确解。并在三波法的基础上进行了推广使之能够应用到变系数非线性偏微分方程。以（3+1）维广义变系数浅水波方程为例,获得大量新的精确解。第七章提出了一种改进的符号计算方法。通过使用改进的符号计算方法,获得了广义（2+1）维Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解。这些获得的多怪波解的动力学特征以三维图形和等高线图进行了展示。与原始符号计算方法相比,我们的方法不需要找到非线性系统的Hirota双线性形式。第八章对本文的主要内容和创新工作进行了总结,展望了未来的研究方向。
哈金婷[6]（2020）在《基于达布变换和双线性形式的非线性方程的精确解研究》文中提出孤子理论作为非线性科学研究的一部分已在海洋学,非线性光学,电磁学等领域中扮演着重要的角色.目前在孤子理论中,可积系统的构造与非线性方程精确解的研究是国内外众多学者密切关注的学术课题.非线性方程的精确解不仅能深入探索方程的本质结构,还有助于进一步理解实际生活中所产生的物理现象.本文主要针对孤子理论中的经典求解方法包括达布变换和基于双线性导数法发展形成的求解理论,探索方法的应用和改进,以得到方程丰富的精确解.全文结构如下:第一章阐述了孤子的起源和发展,归纳总结了孤子理论的重点研究及本文所做的工作.第二章简要概述了达布变换的求解原理,利用达布变换思想探索Dirac-type方程和超NLS-m Kd V方程的精确解,并展示所得解的立体图象.在第三章中,将有理函数变换法的思想进行改进并应用于一个扩展的Jimbo-Miwa方程,求得方程的周期和双曲函数行波解,复合解及共振多波解等丰富的精确解.在第四章中,基于双线性形式,利用正二次函数法研究广义（3+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程及其在变量z=x时的约化方程,分别求得它们的lump-type解和lump解,借助图象展示lump-type解和lump解的结构,分析所得解的动力学性质.另外将拓展的正二次函数法应用于Hirota-Satsuma-Ito方程和两种新的研究对象,分别得到两种lump-stripe解,怪波解及多波浪解.最后对所研究的内容进行了总结,并展望了今后的科研重点.
茆晋晋[7]（2020）在《若干非线性微分方程的对称性、反散射变换以及解析解的研究》文中进行了进一步梳理在本文中,我们基于几种不同的方法来研究几类非线性薛定谔方程的Lie对称、反散射变换、守恒律、精确解以及孤子解.非线性微分方程能够描述许多领域中的非线性现象,如数学、生物、物理甚至金融领域,因此对于这些方程的研究是具有潜在价值.对于非线性微分方程的对称性、反散射变换以及解析解的研究,有助于解释一些对应的物理现象以及在工程中的应用.例如,广义高阶导数非线性薛定谔方程和（2+1）维手性非线性薛定谔方程,它们分别描述脉冲在光纤中的传播和许多物理介质中的振幅包络线.本文的结构安排如下:在第一章中,简单介绍了本方向的研究背景及意义的相关理论,其中详细描述守恒律和黎曼-希尔伯特方法的发展史.最后简要介绍本文主要研究内容.在第二章中,基于Lie对称方法研究了广义高阶导数非线性薛定谔方程和（2+1）维手性非线性薛定谔方程的对称算子和对称交换子.然后利用最优系统方法,首次获得该方程的对称约化和群不变解.在收敛性分析的基础上,成功的找到其相应显式幂级数解.同时,通过Ibragimov提出的新守恒律理论,我们进而得出对应方程的此类守恒律.最后,基于相应的符号计算方法,获得方程的精确行波解.在第三章中,首次将黎曼-希尔伯特方法推广到三耦合四阶非线性薛定谔方程中,并求出其对应的孤子解.结合Lax对的谱分析,将本征函数和谱函数的分析性相结合,成功的建立了原方程的黎曼-希尔伯特问题.在无反射情况下,我们得到了这种黎曼-希尔伯特问题的孤子解,进而获得原方程的多孤子解.此外,通过选择适当的参数,给出了该方程的一孤子解和两孤子解的局部结构以及动力学行为.在第四章中,首次研究了实验室坐标中的非线性薛定谔方程的非零边界问题并给出了一些孤子解.对渐进Lax对进行分析,成功的获得Jost函数、散射矩阵及其解析性和对称性.我们获得了离散点的渐进分析、迹公式和“”条件.通过求解黎曼-希尔伯特问题,进而获得原方程的一些孤子解.最后,我们还将其推广到双极点的情况,并建立了对应的离散光谱,剩余条件,迹公式以及“”条件.此外,为更详细的描述这种非线性现象,我们用图形方式分析方式描述由各个参数的影响引起的这些孤子解的某些特征.在第五章中,基于应用振幅假设方法研究了具有零阶耗散的广义Hirota方程、广义非线性薛定谔方程以及二维复Ginzburg-Landau方程的亮暗孤子解.并且首次研究该方程的稳定性,同时还使用线性稳定性分析的方法来分析方程的不稳定性.最后,还给出方程的行波解和高斯孤子.在第六章中,基于二元Bell多项式方法推到出（3+1）维不可积分KdV型方程和（3+1）维B型Kadomtsev-Petviashvili方程的双线性形式,进一步推到出其相应的孤子解.利用扩展的同宿文本方法,首次得到方程的同宿呼吸波解,进一步推到出怪波解.随后,我们又推到出该方程的lump解,还将其推广到（3+1）维gKP方程和（3+1）维vcgBKP方程中,并求出其相应的lump解.最后,推到出该方程的lumpoff解,和瞬时/怪波解.在最后一章中,对本文进行一些简单的总结和展望.
赵学慧[8]（2020）在《非线性发展方程的孤子解及相关性质》文中研究表明非线性现象普遍存在于自然界和人类的日常生活中,为了揭示非线性现象的原理和机制,研究者们通常用非线性发展方程建立模型去描述这些现象,从而通过非线性发展方程的解析解解析地研究这些非线性现象。本文从解析的角度研究了几个重要的非线性发展方程,从而得到的孤子解及性质既有理论价值也有实际应用。本文的主要内容概述如下:第一章绪论介绍了非线性科学和孤子相关的背景及研究现状,概述了所研究非线性发展方程用到的方法,比如Hirota、Bell多项式等方法,同时给出论文的主要工作和结构安排。第二章从孤子解的角度研究了光纤中的非线性高阶Schrodinger方程,该方程描述了光脉冲在光纤中的传播。基于Ablowitz-Kaup-Newell-Segur系统,导出了方程的Lax对和无穷守恒律,应用Darboux变换方法得到方程的单孤子、双孤子和三孤子解的表达式,图示了单孤子、双孤子和三孤子的传播及相互作用。第三章分别研究了Heisenberg铁磁自旋链中的（2+1）维常系数和变系数的非线性Schrodinger方程。对于常系数方程,应用符号计算和Hirota方法,导出了双线性形式、暗单孤子、暗双孤子和暗三孤子解。画图说明了暗孤子的振幅和形状在传播过程中保持不变,说明了能量在（2+1）维Heisenberg铁磁自旋链中的传输是稳定的。通过渐近性分析,讨论了暗孤子之间的弹性和非弹性相互作用。利用线性稳定性分析方法对调制不稳定性进行了分析,证明了暗孤子是稳定的;对于变系数的方程,导出了Lax对和无穷守恒律,证明了该方程的多孤子解的存在性。通过辅助函数的Hirota方法,导出了双线性形式、暗单孤子解、暗双孤子解和暗三孤子解。图中呈现了暗孤子的传播和相互作用,孤子的速度与二阶和四阶色散项的系数线性相关,而孤子的振幅并不依赖于它们。两个孤子以及三个孤子之间的相互作用是弹性的。第四章研究了一个广义Schrodinger-Boussinesq系统,描述了波在等离子体中的平稳传播。利用Hirota方法和符号计算,得到了双线性形式、单孤子解、双孤子解和三孤子解。图示了孤子的传播和相互作用,在传播过程中,单孤子的振幅、速度和形状保持不变,这意味着能量在磁声波中的传输是稳定的,通过渐近性分析,讨论了磁声波的相互作用,分别描述了两个孤子之间的迎面、追赶和束缚态相互作用,两个孤子之间的相互作用是弹性的,同时还给出束缚态孤子与单个孤子之间以及三孤子之间的相互作用都是弹性的。第五章分别研究了水波中变系数的Broer-Kaup方程和Korteweg-de Vries方程,首先,应用Bell多项式方法和符号计算,得到了方程的双线性形式,Backlund变换和Lax对。对于得到的Broer-Kaup方程的双线性形式,导出了方程的单孤子解及双孤子解,应用Korteweg-de Vries方程的双线性形式,构建了方程的N孤子解,利用Riemann θ函数法及同宿测试法得到了周期波和呼吸波解。第六章研究了流体里面的两个系统,分别是Boussinesq系统和Davey-Stewartson系统。首先,利用Bell多项式方法,得到了系统的Backlund变换和Lax对,然后结合模拟的图像,观察到了单孤子的传播以及双孤子之间的相互作用。第七章总结了本论文的主要结论与创新点,并对今后的研究工作进行了展望。
李伟[9]（2020）在《高维非线性演化方程高阶波解的符号计算研究》文中研究说明非线性演化方程是描述非线性现象的一类非常重要的数学模型。非线性演化方程精确解的符号计算研究始终是数学物理领域很重要的研究课题。随着计算机代数的飞速发展,计算机代数系统为人们求解非线性演化方程的精确解提供了强有力的工具和手段。近几年,高维甚至超高维非线性演化方程精确解的符号计算研究逐渐成为微分方程领域的研究热点。本文基于符号计算软件Maple,开展了高维非线性演化方程多种类型波解的符号计算研究,主要包括以下两方面的工作。第一部分主要通过简单Hirota方法和直接代数法构造高维非线性演化方程多种类型的高阶波解。简单Hirota方法是构造非线性演化方程精确解的一种有效方法。但是,该方法推导出的N-孤子解公式对不可积方程往往并不适用,本文通过引入参数约束条件获得高维不可积方程的有效N-孤子解。在此基础上,结合Painlevé截断展开、共轭参数法、长极限法计算了（3+1）维B-type Kadomtsev-Petviashvili（BKP）方程和（3+1）维扩展的Jimbo-Miwa（JM）方程任意高阶的孤子解、呼吸子解和lump解;进而基于直接代数法,并结合继承求解和并行计算技术,分别构造了（3+1）维BKP方程的高阶怪波解、孤子和有理波之间的相互作用解,（3+1）维扩展的JM方程的孤子、有理波和多种周期波之间的多波相互作用解。第二部分基于有效的N-孤子解,本文提出了一种N-孤子分解算法构造高维非线性演化方程的高阶孤子、呼吸子和有理波之间的多波相互作用解。在获得有效的高阶孤子解之后,可基于高阶孤子解进一步由Satsuma等人提出的共轭参数法和长极限法分别计算高维非线性演化方程的高阶呼吸子解和有理波解。受该构造过程的启发,本文提出了构造高维非线性演化方程lump波、呼吸子和孤子之间的高阶相互作用解的新的分解算法。其主要思路是将自然数N分解为:N=2M+2K+S,其中M,K和S均为自然数。然后利用长极限法和共轭参数法将N-孤子公式中的前2M个孤子转换为M个lump波,利用共轭参数法将N-孤子公式中的中间2K个孤子转换为K个呼吸子,最后的S个孤子仍然保持为孤子,即可获得高维非线性演化方程的M-lump、K-呼吸子和S-孤子之间的相互作用解。基于该分解思路,我们分别构造了（4+1）维Fokas方程和（3+1）维广义的KP方程的lump波、呼吸子和孤子之间的高阶相互作用解。
石丹丹[10]（2020）在《几类整数和分数阶微分方程解的若干问题的研究》文中提出非线性问题一直是数学物理中一个热门的研究课题,近几十年来,随着科研的不断深入,非线性科学取得了巨大进展.研究发现自然界中的许多现象可以通过建立非线性发展方程的解的数学模型来描述.众多学者也已经探索出多种有效的求非线性方程精确解的方法,但是目前还没有一种方法可以适用于所有的非线性问题,仍有许多非线性发展方程的解有待探索.本文主要使用Hirota双线性方法,推广的（G’/G）-展开法,李对称分析法等研究几类整数阶和分数阶的非线性偏微分方程.第一章,介绍了本文的研究背景,现状和意义.第二章,在KP方程双线性系统的基础上,得到了（3+1）维Jimbo-Miwa方程的新的多孤子解.同时,得到了许多由线性孤子和lump波组成的半有理解.通过绘制三维图形研究了线性孤子和lump波聚集成线性孤子的融合过程和线性孤子分裂成线性孤子和lump波的过程.这些结果以前从未研究过,丰富了Jimbo-Miwa方程的动力学模型,可以解释和预测工程,航天,气象等领域相应的动力学现象.第三章,首先研究了广义时间分数阶泡沫排水方程的精确解.这里采用李群标度变换法和改进的（G’/G）-展开法.该方程描述了泡沫在重力作用下垂直密度分布的演变过程.广义时间分数阶泡沫排水方程的新的精确解和Maple图可以帮助我们更好地理解物理现象.其次利用Ansatz方法求出了共形时空分数阶修正等宽波方程的明,暗解.此外,首次用分数阶（G’/G）-展开法求出了时空分数阶修正等宽波方程的周期解,暗解,孤子解和类孤子解.并给出解的动态模型,结果表明,这两种方法对于求解其他类型的非线性分数阶微分方程是适用的,而且更有效.第四章,研究了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统,该系统用来研究电力系统中流体的流动,描述浅水波的传播.首先考虑了李点对称性,相似性变换.利用所得到的对称性,将耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统用Erdelyi-Kober分数阶微分算子化为非线性分数阶常微分方程.其次利用幂级数展开法求解了简化的分数阶常微分系统,同时分析了幂级数解的收敛性.另外,利用新的守恒定理,构造了耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的守恒定律.特别给出了q-同伦分析方法对耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的数值模拟.第五章,对本文的研究成果进行了总结,同时结合现有的研究成果及自身掌握的理论基础,探讨了未来可以尝试的研究方向,给出今后的工作展望.
二、(3+1)维非线性方程的多孤子解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、(3+1)维非线性方程的多孤子解（论文提纲范文）
（1）若干非线性模型的解析解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 背景介绍及研究现状 |
| 1.2 非线性模型可积性的定义 |
| 1.3 非线性模型常用求解方法简介 |
| 1.3.1 反散射方法 |
| 1.3.2 Hirota双线性方法 |
| 1.3.3 符号计算与常见的局域波解 |
| 1.3.4 Riemann-Hilbert方法 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 第二章 广义BLMP方程的Lump解和Lump-扭结孤子解 |
| 2.1 广义BLMP方程 |
| 2.2 寻找Lump解 |
| 2.3 Lump-扭结孤子解 |
| 2.4 总结 |
| 第三章 流体力学中广义(3+1)-维Jimbo-Miwa方程的高阶Lump解、高阶呼吸解和混合解 |
| 3.1 广义(3+1)-维Jimbo-Miwa方程的N-孤子解 |
| 3.2 M-阶Lump解 |
| 3.3 呼吸-扭结解、有理呼吸解和怪波解 |
| 3.3.1 呼吸-扭结解 |
| 3.3.2 有理呼吸解和怪波解 |
| 3.4 T-阶呼吸解 |
| 3.5 混合解 |
| 3.5.1 由呼吸解和扭结孤子构成的作用解 |
| 3.5.2 由Lump解和扭结孤子或者呼吸解构成的作用解 |
| 3.5.3 1-阶Lump解与1-孤子构成的相互做用解 |
| 3.6 总结 |
| 第四章 (3+1)-维广义Yu-Toda-Sasa-Fukuyama方程的动力性 |
| 4.1 广义YTSF方程的N-孤子解 |
| 4.2 M-阶Lump解 |
| 4.3 混合解 |
| 4.4 结论 |
| 第五章 用Riemann-Hilbert方法求解光纤中Lakshmanan-Porsezian-Daniel方程丰富的解 |
| 5.1 矩阵RH问题的建立 |
| 5.2 广义N-孤子解公式 |
| 5.3 精确呼吸解和孤子解的动力学行为 |
| 5.4 结论 |
| 第六章 光纤中高阶耦合非线性Schr(?)dinger方程的多孤子解及Riemann-Hilbert方法 |
| 6.1 RH问题的建立 |
| 6.2 HC-NLS系统的多孤子解 |
| 6.3 精确呼吸解和孤子解的动力学行为 |
| 6.4 结论 |
| 第七章 双折射或双模光纤中四阶耦合非线性Schr(?)dinger方程的Riemann-Hilbert问题和动力性 |
| 7.1 四阶耦合NLS方程 |
| 7.2 新旧Lax对的变换 |
| 7.3 矩阵RH问题 |
| 7.4 四阶耦合NLS方程的N-孤子解 |
| 7.5 精确呼吸解和孤子解的动力学行为 |
| 7.6 结论 |
| 第八章 总结与展望 |
| 8.1 总结 |
| 8.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的工作 |
| 攻读博士学位期间参与的项目及获奖情况 |
| 致谢 |
（2）高维非线性系统解析解的研究与应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究方法 |
| 1.3.1 Hirota双线性方法 |
| 1.3.2 Backlund变换 |
| 1.3.3 Darboux变换 |
| 1.3.4 KP约化方法 |
| 1.4 内容及结构安排 |
| 第二章 色散渐变光纤NLSE模型解析研究 |
| 2.1 (1+1)维NLSE解析解 |
| 2.1.1 背景介绍 |
| 2.1.2 双线性形式 |
| 2.1.3 孤子解 |
| 2.2 (2+1)维NLSE解析解 |
| 2.2.1 背景介绍 |
| 2.2.2 双线性形式 |
| 2.2.3 孤子解 |
| 2.3 两种类型下孤子图像与特征分析 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 高阶NLSE模型解析研究 |
| 3.1 背景介绍 |
| 3.2 双线性形式 |
| 3.3 孤子解 |
| 3.4 孤子动力学分析 |
| 3.5 本章小节 |
| 第四章 高阶变系数(2+1)维NLSE模型解析解研究 |
| 4.1 背景介绍 |
| 4.2 双线性形式 |
| 4.3 孤子解 |
| 4.4 孤子动力学分析 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
（3）局域波和调制不稳定性的若干问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波 |
| 1.2 调制不稳定性分析 |
| 1.3 Darboux变换方法 |
| 1.4 Hirota双线性方法 |
| 1.5 本文选题和主要工作 |
| 第二章 六阶非线性Schr(?)dinger方程局域波的动力学 |
| 2.1 无穷阶非线性Schr(?)dinger方程族 |
| 2.2 无穷阶NLS方程族的调制不稳定性分析 |
| 2.3 六阶NLS方程的广义Darboux变换 |
| 2.4 六阶NLS方程的怪波解 |
| 2.5 一阶怪波解的谱分析 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 广义耦合Fokas-Lenells方程局域波的动力学 |
| 3.1 广义耦合Fokas-Lenells方程 |
| 3.2 gc-FL方程的调制不稳定性分析 |
| 3.3 gc-FL方程的无穷多守恒律和Darboux变换 |
| 3.4 gc-FL方程局域波之间的相互作用解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 3+1维非线性系统的局域波及相互作用解 |
| 4.1 3+1维Hirota双线性方程的局域波解 |
| 4.2 3+1维广义Jimbo-Miwa方程的局域波及相互作用解 |
| 4.3 3+1维非线性演化方程的局域波及相互作用解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 3+1维KS方程的高阶有理解和共振解 |
| 5.1 3+1维KS方程 |
| 5.2 亮暗高阶有理解 |
| 5.3 亮暗N波共振解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文总结 |
| 6.2 未来工作展望 |
| 附录A 3+1维KS方程的有理解 |
| A.13+1维KS方程的三阶有理解中P1和Q1的表达式 |
| A.23+1维KS方程的广义有理解中R和S的表达式 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表论文、参与科研和获得荣誉情况 |
（4）等离子体、海森堡铁磁自旋链中非线性模型的Lie群分析及解析研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景综述 |
| 1.1.1 等离子体中的非线性波 |
| 1.1.2 海森堡铁磁自旋链中的非线性波 |
| 1.1.3 对称与守恒 |
| 1.2 本文所需研究方法 |
| 1.2.1 Lie群理论 |
| 1.2.2 伴随方程法 |
| 1.2.3 Hirota方法 |
| 1.2.4 Darboux变换法 |
| 1.3 本文的研究内容和结构安排 |
| 参考文献 |
| 第二章 E-i磁化等离子体中(3+1)维修正Zakharov-Kuznetsov方程的Lie群分析及解析研究 |
| 2.1 (3+1)维修正Zakharov-Kuznetsov方程 |
| 2.2 方程(2-5)的双线性形式及孤子解 |
| 2.2.1 双线性形式 |
| 2.2.2 孤子解 |
| 2.2.3 等离子体声波传播机制及相互作用分析 |
| 2.3 方程(2-5)的Lie群分析 |
| 2.3.1 Lie对称群 |
| 2.3.2 Lie对称约化 |
| 2.4 方程(2-5)的守恒律 |
| 2.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第三章 E-p-i磁化等离子体中(2+1)维修正Zakharov-Kuznetsov方程的Lie群分析及解析研究 |
| 3.1 (2+1)维修正Zakharov-Kuznetsov方程 |
| 3.2 方程(3-6)的Lie群分析 |
| 3.3 方程(3-6)的解析解 |
| 3.3.1 求解约化方程(Ⅱ) |
| 3.3.2 求解约化方程(Ⅲ) |
| 3.3.3 求解约化方程(Ⅴ) |
| 3.4 离子声漂移孤波和周期波传播机制分析 |
| 3.4.1 多个离子声漂移孤波间的相互作用 |
| 3.4.2 周期波传播机制分析 |
| 3.5 方程(3-6)的守恒律 |
| 3.5.1 严格自伴性和非线性自伴性 |
| 3.5.2 守恒律 |
| 3.6 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第四章 E-p-i磁化等离子体中(3+1)维Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的Lie群分析及解析研究 |
| 4.1 (3+1)维Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程 |
| 4.2 方程(4-4)的Lie群分析 |
| 4.3 方程(4-4)的解析研究 |
| 4.4 方程(4-4)的守恒律 |
| 4.4.1 非线性自伴性 |
| 4.4.2 守恒律 |
| 4.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第五章 海森堡铁磁自旋链中(2+1)维非线性Schrodinger方程的Lie群分析及解析研究 |
| 5.1 (2+1)维非线性Schrodinger方程 |
| 5.2 方程(5-2)的Lie群分析及群不变解 |
| 5.2.1 Lie群分析 |
| 5.2.2 群不变解及磁孤子传播机制分析 |
| 5.3 自旋呼吸子及其转换 |
| 5.3.1 方程(5-2)的Lax对与呼吸子解 |
| 5.3.2 一阶自旋呼吸子及其转换 |
| 5.3.3 二阶自旋呼吸子及其转换 |
| 5.4 方程(5-2)的半有理解 |
| 5.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 对未来工作的展望 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（5）非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几类特殊的精确解 |
| 1.1.1 孤立波 |
| 1.1.2 怪波(rogue wave) |
| 1.1.3 Lump波 |
| 1.1.4 呼吸子 |
| 1.2 一些基本的方法 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法 |
| 1.2.2 Bell多项式 |
| 1.2.3 Backlund变换 |
| 1.3 论文的主要内容和安排 |
| 第二章 Lump解及其交互作用解 |
| 2.1 Lump解求解方法 |
| 2.2 (3+1)维孤子方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.2.1 Lump解和孤子解之间的交互作用 |
| 2.2.2 Lump解和周期解之间的交互作用 |
| 2.3 (2+1)维非对称NNV方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.3.1 Lump解 |
| 2.3.2 Lump波和孤子的交互作用解 |
| 2.4 修改后的lump解求解方法 |
| 2.5 (3+1)维广义变系数KP方程的lump解 |
| 2.5.1 Lump解 |
| 2.5.2 动力学行为分析 |
| 2.6 (2+1)维变系数KP方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.6.1 Lump解 |
| 2.6.2 Lump波和单孤立波交互作用 |
| 2.6.3 Lump波和双孤立波交互作用 |
| 第三章 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期孤子解 |
| 3.1 (2+1)维破裂孤子方程 |
| 3.2 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期解 |
| 第四章 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 4.1 (3+1)维BLMP方程 |
| 4.2 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 第五章 浅水波方程的自Backlund变换和多孤子解 |
| 5.1 (3+1)维广义浅水波方程 |
| 5.2 自Backlund变换 |
| 5.3 非行波孤子型解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 5.5 总结 |
| 第六章 KP方程、Ito方程、KdV方程与变系数浅水波方程的精确解 |
| 6.1 新(3+1)维广义KP方程的周期孤立波解 |
| 6.2 (2+1)维Ito方程的周期孤立波解 |
| 6.3 (2+1)维KdV方程的精确解 |
| 6.4 (3+1)维广义变系数浅水波方程精确解及动力学性质 |
| 6.4.1 精确解 |
| 6.4.2 动力学行为分析 |
| 第七章 Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.1 Boussinesq方程的多怪波解 |
| 7.1.1 针对常系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.1.2 多怪波解 |
| 7.2 变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.2.1 针对变系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.2.2 多怪波解 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（6）基于达布变换和双线性形式的非线性方程的精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤子理论的产生和发展 |
| 1.2 相关理论概述 |
| 1.2.1 可积系统的构造 |
| 1.2.2 达布变换法 |
| 1.2.3 Hirota双线性方法和广义双线性方法 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 达布变换及其应用 |
| 2.1 达布变换理论的基本思想 |
| 2.2 达布变换在Dirac-type方程上的应用 |
| 2.3 达布变换在超NLS-m Kd V方程上的应用 |
| 2.4 总结 |
| 第三章 有理函数变换法及其拓展法 |
| 3.1 有理函数变换法及其拓展的主要思想 |
| 3.2 有理函数变换法在(3+1)维扩展JM方程中的应用 |
| 3.3 拓展有理函数变换法在(3+1)维扩展JM方程中的应用 |
| 3.4 总结 |
| 第四章 正二次函数法及其拓展法 |
| 4.1 正二次函数法的主要思想 |
| 4.2 正二次函数法的应用 |
| 4.2.1 广义(3+1)维 KP方程的lump类型解 |
| 4.2.2 约化的(2+1)维 KP方程的lump解 |
| 4.3 拓展的正二次函数法 |
| 4.3.1 Hirota-Satsuma-Ito方程的lump-stripe解 |
| 4.3.2 某个非线性方程的怪波解 |
| 4.3.3 (3+1)维扩展非线性方程的多波浪解 |
| 4.4 总结 |
| 第五章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间的研究成果 |
| 致谢 |
（7）若干非线性微分方程的对称性、反散射变换以及解析解的研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究内容与拟采取的方法 |
| 2 非线性性薛定谔方程的Lie对称性分析、守恒律和解析解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 广义高阶导数NLS方程的Lie对称性分析、守恒定律及精确解 |
| 2.3 (2+1)维手性NLS方程的Lie对称分析、守恒定律及解析解 |
| 3 四阶非线性性薛定谔方程的反散射变换和多孤子解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 直散射变换 |
| 3.3 反散射变换 |
| 3.4 多孤子解 |
| 4 具有非零边界条件的实验室框架下的非线性性薛定谔方程的黎曼-希尔伯特方方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 直接散射问题 |
| 4.3 反散射问题:单极点 |
| 4.4 孤子解 |
| 4.5 反散射问题:双极点 |
| 5 几类非线性微分方程的孤子解及稳定性分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 广义Hirota方程的光孤子、复孤子、高斯孤子和幂级数解 |
| 5.3 广义NLS方程的调制不稳定性分析、亮、暗、复孤子解 |
| 5.4 二维复Ginzburg-Landau方程的稳定性分析、光孤子和复孤子解 |
| 6 (3+1)维非线性性演化方程的双线性性形式、lump解、lumpoff和瞬时/怪波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 (3+1)维不可积KdV型方程的怪波、同宿呼吸波和孤子波 |
| 6.3 (3+1)维B型Kadovtsev-Petviashvili方程的双线性形式、lump解、lumpoff和瞬时波解 |
| 7 总结与展望 |
| 7.1 本文总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（8）非线性发展方程的孤子解及相关性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 背景介绍及研究现状 |
| 1.1.1 非线性发展方程 |
| 1.1.2 孤子 |
| 1.2 研究方法介绍 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法和Bell多项式方法 |
| 1.2.2 Painlevé分析 |
| 1.2.3 B?cklund变换 |
| 1.2.4 Lax可积 |
| 1.2.5 Darboux变换 |
| 1.2.6 守恒律 |
| 1.3 论文的主要工作和安排 |
| 参考文献 |
| 第二章 光纤中高阶非线性Schr?dinger模型的孤子解研究 |
| 2.1 方程(2-2)的建立及研究现状 |
| 2.2 方程(2-2)的Lax对及无穷守恒律 |
| 2.3 Darboux变换与孤子解 |
| 2.3.1 方程(2-2)的Darboux变换 |
| 2.3.2 方程(2-2)的孤子解 |
| 2.4 方程(2-2)的孤子解的讨论与分析 |
| 2.5 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第三章 海森堡铁磁自旋链中(2+1)维非线性Schr?dinger方程的孤子解研究 |
| 3.1 常系数NLS方程 |
| 3.1.1 双线性形式 |
| 3.1.2 孤子解 |
| 3.1.3 暗单双孤子性质 |
| 3.1.4 线性稳定性分析 |
| 3.2 变系数高阶NLS方程 |
| 3.2.1 Lax对和无穷守恒律 |
| 3.2.2 双线性形式及暗孤子解 |
| 3.2.3 讨论与分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第四章 磁化等离子体中Schr?dinger-Boussinesq系统的孤子解研究 |
| 4.1 系统(4-1)的建立及研究现状 |
| 4.2 系统(4-1)的双线性形式及孤子解 |
| 4.2.1 系统(4-1)的双线性形式 |
| 4.2.2 系统(4-1)的孤子解 |
| 4.3 系统(4-1)孤子解的讨论与分析 |
| 4.4 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第五章 BK方程孤子解及KdV方程孤子解、周期波和呼吸波的研究 |
| 5.1 Broer-Kaup方程的建立及研究现状 |
| 5.1.1 双线性形式及孤子解 |
| 5.1.2 B?cklund变换及Lax对 |
| 5.1.3 讨论与分析 |
| 5.2 KdV方程的建立及研究现状 |
| 5.2.1 双线性形式及N孤子解 |
| 5.2.2 Bácklund变换及Lax对 |
| 5.2.3 周期波和呼吸波解 |
| 5.3 本章小结: |
| 参考文献 |
| 第六章 Boussinesq和Davey-Stewartson系统在流体中的孤子解研究 |
| 6.1 Boussinesq系统的建立及研究现状 |
| 6.1.1 系统(6-3)的双线性形式及孤子解 |
| 6.1.2 系统(6-3)的Bácklund变换和Lax对 |
| 6.1.3 讨论与分析 |
| 6.2 Davey-Stewartson系统的建立及研究现状 |
| 6.2.1 系统(6-24)的双线性形式及孤子解 |
| 6.2.2 系统(6-24)的Bácklund变换和Lax对 |
| 6.2.3 讨论与分析 |
| 6.3 本章小结 |
| 参考文献 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（9）高维非线性演化方程高阶波解的符号计算研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性波 |
| 1.2 构造高维非线性演化方程精确解的方法和算法 |
| 1.2.1 齐次平衡法与n阶展开方法 |
| 1.2.2 Painlev(?) 截断展开 |
| 1.2.3 Hirota双线性方法与简单Hirota方法 |
| 1.3 符号计算 |
| 1.4 本文选题和主要工作 |
| 第二章 两个高维非线性演化方程的不同类型高阶波解的符号计算研究 |
| 2.1 Hirota双线性方法及其局限性 |
| 2.2 简单Hirota方法及N-孤子解公式的修正 |
| 2.3 继承求解和分组并行计算技术 |
| 2.4 (3+1) 维BKP方程多种高阶波解的构造 |
| 2.4.1 N-孤子解 |
| 2.4.2 周期波解 |
| 2.4.3 lump解 |
| 2.4.4 孤子与lump的相互作用解 |
| 2.4.5 怪波解 |
| 2.5 (3+1) 维扩展的JM方程多种高阶波解的构造 |
| 2.5.1 N-孤子解 |
| 2.5.2 呼吸子解 |
| 2.5.3 lump解 |
| 2.5.4 相互作用解 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 构造高维非线性演化方程高阶相互作用解的新算法及其应用 |
| 3.1 算法描述 |
| 3.2 应用实例 |
| 3.2.1 (4+1) 维Fokas方程的高阶相互作用解 |
| 3.2.2 (3+1) 维广义的KP方程的高阶相互作用解 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 本文工作总结 |
| 4.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 研究成果 |
（10）几类整数和分数阶微分方程解的若干问题的研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究内容与拟采用的方法 |
| 2 (3+1)维 Jimbo-Miwa方程的的多孤子解和高阶半有理解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 (3+1)维 Jimbo-Miwa方程的多孤子解 |
| 2.3 (3+1)维 Jimbo-Miwa方程的半有理解 |
| 2.4 小结 |
| 3 一些分数阶偏微分分方程的大量的精确解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 广义时间分数阶泡沫排水方程的大量精确解 |
| 3.4 适形时空分数阶修正的等宽方程的大量的精确解 |
| 3.5 小结 |
| 4 耦合时间分数阶Boussinesq-Burgers系统的一些精确解和守恒律 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 对称分析 |
| 4.4 幂级数解 |
| 4.5 守恒律 |
| 4.6 数值模拟与讨论 |
| 4.7 小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
四、(3+1)维非线性方程的多孤子解（论文参考文献）
- [1]若干非线性模型的解析解研究[D]. 郭汉东. 上海大学, 2021
- [2]高维非线性系统解析解的研究与应用[D]. 刘素芝. 北京邮电大学, 2021(01)
- [3]局域波和调制不稳定性的若干问题研究[D]. 岳云飞. 华东师范大学, 2021
- [4]等离子体、海森堡铁磁自旋链中非线性模型的Lie群分析及解析研究[D]. 杜夏夏. 北京邮电大学, 2021(01)
- [5]非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究[D]. 刘建国. 北京邮电大学, 2021(01)
- [6]基于达布变换和双线性形式的非线性方程的精确解研究[D]. 哈金婷. 青岛大学, 2020(01)
- [7]若干非线性微分方程的对称性、反散射变换以及解析解的研究[D]. 茆晋晋. 中国矿业大学, 2020(01)
- [8]非线性发展方程的孤子解及相关性质[D]. 赵学慧. 北京邮电大学, 2020(01)
- [9]高维非线性演化方程高阶波解的符号计算研究[D]. 李伟. 华东师范大学, 2020(11)
- [10]几类整数和分数阶微分方程解的若干问题的研究[D]. 石丹丹. 中国矿业大学, 2020(01)